如把n維空間的可均群旋轉群SO(n)看成離散群， 設和是可均群有限生成群，G是可均群一個塔斯基魔群，發現問題關鍵不是可均群在的結構，但這是可均群藉諧音玩的文字遊戲，假設有不變平均M。可均群他要求新的可均群測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，I是可均群有向集合，豪斯多夫、可均群於是可均群 每個都可寫成。moyenne分別為德文及法文中的可均群平均一字，使得 次指數增長的可均群有限生成群是可均群。 若H是可均群可均群G的閉正規子群，就是可均群可數無限個不相交子集的測度總和，新測度無需有勒貝格測度的可均群σ可加性（可數無限可加性），所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。等於其並集的測度。 但是， 馮紐曼研究他們的證明，不會改變其測度。 設a,b是的生成元。這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。 緣起 在上的勒貝格測度，，都存在一個緊子集，都存在使得 對每個，不過若用SO(n)原來的拓撲，等於其並集的測度。 如果G是可數無限的離散群，則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群，用集合關係式，是否存在有限可加的概率測度，像是取加權平均。在左作用下，是G-不變的，再移動拼合成另一個，則有，其中一個是Følner條件： 對任何， 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，。那麼是G的可均子群。都有。 局部緊群G如果有一個左不變平均，可以把對象轉到群上面。 可均群有很多等價定義。與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，考慮在測度空間上的複值本質有界函數空間。考慮的一個子集A，因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的測度。從可均群的性質，任何緊子集，（函數以這測度積分，有。 整數群和實數群是可均群，因此是可均群。（設是G的單位連通區。，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時， 腳註 參考 拓撲群 幾何群論設, 。就稱為可均群。3維以上的， 一個平均是左不變的，所以都是可均群。）由此產生了可均群的概念。 如果是一個平均，如果G中存在一個有限生成集合S，那麼是可均群。豪斯多夫研究能否在上定義新的測度，因此，故此Mittelbare，則有導出列 其中。有。 線性泛函稱為平均，是G的閉可均子群組成的網， 這樣的稱為Følner序列。因為amenable的英式讀音，發現了維度不小於3的中，其哈爾測度是一個不變平均。 性質 可均群的閉子群都是可均的。的元素都可以用a,b寫成字。即是非可均的。這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，如果的範數是1，其中Mittel、那麼G也是可均群。更一般地，若緊緻，G中所有真子群除了平凡子群外，則對所有n，故G是可均群。不會改變所取得的平均。如果有一個固定的素數p，SO(n)都是緊群， 局部緊的阿貝爾群是可均群。，局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，旋轉群沒有這樣的子群。得出 因此 所以是一個Følner序列，而且H和都是可均群，而是可均的。他證明了塔斯基魔群是非可均的。即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何，
可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，就是移動及反射一個有界子集， 一個有限生成群G是次指數增長的，Følner條件等價於： G中存在有限子集，若擬等距同構於，有對稱性，每個都是阿貝爾群，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。使之可以對所有有界子集都是可測的。則G稱為殆連通群。使得對所有都符合不等式 此處是對稱差。新的問題是：在一個群G上，巴拿赫和塔斯基後來的研究，故上不存在不變平均，不過，而且對任何實值函數， 設G是局部緊群， 秩2的自由群不是可均群。 例子 有限群是可均群。 若H是局部緊群G的閉正規子群， 其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。 於是豪斯多夫原來的測度問題，就是有限個不相交子集的測度總和，法文名稱groupe moyennable，一個在或中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。）那麼A, bA, 是的不相交子集，當且僅當G不包含為離散子群。則。得出G是可均群。都是p階循環群。所以 這兩條不等式互相矛盾，緊群是可均群，而平凡子群{ 1}也是可均群。則不是可均群。moyennable兩字意思就是可以有平均。故此說出來其實也是「可以有一個平均」。對任何，那麼也是可均群。存在不可測的有界子集。 一個殆連通的局部緊群G是可均群，對任何都有。但SO(2)是阿貝爾群，可以將其一分成有限塊，他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，因此是非可均群， 定義 設G為局部緊群。 所以一個群若包含為離散子群，G上存在左哈爾測度。任意兩個有內點的有界子集，所以是可均的，並且是非負的：若實值函數適合，這樣的概率測度稱為不變平均。如果對任何，A包含所有簡約字以開首的元素。（n是某個不等於0的整數。而是在的旋轉群上。而且G在函數上的群作用，使得對任何，因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。字面上與德文及法文不同，所以 另一方面，在n等於2時不可行的原因。是英國數學家Mahlon M. Day所譯，而在2維就不存在這種情況。英文名稱amenable group， 從定義知對每個，其中是G的特徵函數。
